凸优化8：保凸运算1

在之前的内容中我们讨论了一些凸集。接下来会讨论一些保凸运算，顾名思义，保凸运算会保持集合的凸的性质。研究保凸运算的意义在于，这样我们可以通过一些已知的凸集去构造新的凸集，同时也可以利用这些运算的保凸的性质去确定一些其他集合的凸性。

交集(Intersection)

交集是保凸的，也就是说 ，如果是凸集，那么也是凸集。这个性质显然可以推广到无穷个集合的交运算：如果对于任意，都是凸的，那么也是凸的。

一个简单的例子是，多面体是半空间和超平面的交集，因此多面体是空的。

一个闭集是包含它的所有半空间的叫交集：

与此同时，并集是不具有保凸性质的，容易举出的例子是：一般来说两条直线的并集不是凸集。

仿射函数(Affine functions)

如果一个函数是一个线性函数和一个常数/常向量的和，即具有的形式，其中，那么我们说函数是仿射的。

假设是一个仿射函数，并且是凸的，那么在下的象也是凸的。

上面的这个结论从几何上是容易解释的：一个点在一个线段上，那么经过映射后，点的像还在线段的像上。

由上面的结论，容易得出类似的：如果是仿射函数，那么在下的原像是凸的。

两个简单例子是伸缩和平移。还有例子是，一个凸集向某几个坐标的投影是凸的，即如果是凸集，那么是凸集。

两个集合的和可以定义为：. 如果和是凸集，那么是凸的。

如果是凸的，那么他们的直积也是凸集。这个集合在线性函数的像下是和。

例如，椭球是单位Euclid球在仿射映射下的像。