QianQing's Blog

介绍广义不等式及使用广义不等式定义的凸性

介绍对数—凸/凹函数及其性质

在拟凸函数的基础上介绍保持函数拟凸性质的函数

在凸性质的基础上介绍一个较弱的条件——拟凸

介绍共轭函数定义、性质和例子

介绍剩余的保凸运算

讨论不同情况的函数复合对于函数凹凸性的影响

接下来讨论几种保持函数凸性、凹形的运算这样可以由已知的凸函数构造出新的凸函数。

Jensen不等式

基本不等式有时也称为Jensen不等式。

此不等式可以拓展到更多点的凸组合：如果函数是凸函数，，且，则下面的不等式成立：

考虑凸集的时候，这个不等式可以拓展为无穷级数、积分、期望。

例如下面由形式如下的不等式：以及

实际上Jensen不等式最初的形式是：

其他不等式

很多不等式都可以将Jensen不等式应用到合适的凸函数中得到。

例如，对凸函数使用Jensen不等式，可以得到

例如Hölder不等式：对以及有：

由的凸性可以得到更为一般的均值不等式：

其中，令

然后对求和，可以得到Hölder不等式。

下水平集

函数的-下水平集定义为. 对于任意，凸函数的下水平集都是凸集。

但是反过来不一定正确：某个函数的所有下水平集都是凸集，但这个函数可能不是凸函数。例如函数在上是一个严格凹函数，但是其所有下水平集均为凸集。

如果是凹函数，则由定义的-上水平集也是凸集。

上面这两个性质可以用来判断集合的凸性，若某个集合可以被描述为一个凸函数的下水平集或者一个凹函数的上水平集，则这个集合为凸集。

上境图

函数的图像定义为，是空间的一个子集；函数的上境图定义为,其也是空间的一个子集。

直观来看，函数的上境图就是函数图像之上的部分。

凸函数于凸集的联系可以通过上境图来建立：一个函数是凸函数，当且仅当其上境图是凸集。一个函数是凹函数，当且仅当其亚图是凸集。

凸函数的很多结果都可以从几何角度利用上境图并结合凸集的一些结论来证明或者理解。