视觉SLAM十四讲读书笔记：Ch04李群与李代数（3）

这是我系列博客《视觉SLAM十四讲》的读书笔记中的一篇，总结了第四章“李群与李代数”的章末习题

1.验证SO(3)、SE(3)关于乘法成群

若，则 且 则验证得

若，则

2.验证构成李代数

（1）我们定义李括号为：

叉乘对两个输入都是线性的，满足：

因此，叉乘是一个双线性映射。

（2）叉乘的基本性质之一就是反对称性：

（3）我们需要验证：

这正是三维向量叉乘的一个经典恒等式，称为 Jacobi 恒等式。它可以用向量恒等式来验证，例如使用：

将三个项展开后相加，可以证明之和为 0，详细展开如下： 三者相加： 全部相互抵消，和为 0。

Q.E.D.

3.验证和满足李代数要求的性质

（1）

定义： Lie bracket：

验证：

• 向量空间封闭性：反对称矩阵对加法和数乘封闭；

• 双线性：对加法和数乘线性；

• 反对称性：

• Jacobi恒等式：

  成立（矩阵对易子满足 Jacobi 恒等式）。

因此， 是一个李代数。

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（2）

定义： Lie bracket： 验证：

• 向量空间结构：封闭于加法与数乘；

• 双线性：矩阵乘法线性，满足双线性；

• 反对称性：

• Jacobi 恒等式：

  成立（由矩阵对易子推广得出）。

因此，也是一个李代数。

4.验证性质 (4.20) 和性质 (4.21)

略

5.证明：

对于任意： 则能说明

6.证明： 该式被称为SO(3)的伴随性质。同样在SE(3)上有伴随性质： 其中

SO(3)上的伴随性质证明如下：

先要得出： 再由上一题

则 对于SE(3)上的伴随性质，由前面的分析不难得出类似的结论： 因此要证，如果可以证明 也可以。

上式右边： 左边： 得证

7.仿照左扰动的推导，推导SO(3)和SE(3)在右扰动下的导数

SO(3)： SE(3)：