视觉SLAM十四讲读书笔记：Ch03三维空间刚体运动

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这是我系列博客《视觉SLAM十四讲》的读书笔记中的一篇，总结了第三章“三维空间刚体运动”相关的内容

1. 刚体运动基本表示

三维空间中的刚体运动（Rigid Body Motion）可以分解为旋转和平移两个部分。

设某点在世界坐标系下的位置为 ，其在相机坐标系下的位置为 ，则它们满足： 其中：

  • 是旋转矩阵，表示刚体的朝向；
  • 是平移向量，表示刚体的位移。

我们可以使用齐次坐标将上述公式统一为矩阵形式：

2. 群论视角：SO(3)与SE(3)

2.1 特殊正交群 SO(3)

旋转矩阵 属于 ，即： 性质：

  • 保持向量模长（正交性）；
  • 保持右手系（行列式为正）；
  • 可复合、可逆，构成群结构。

2.2 特殊欧氏群 SE(3)

刚体变换矩阵 属于 ：

3. 旋转的表示方式与转换

3.1 旋转向量与Rodrigues公式

三维旋转可以用旋转轴 与旋转角 表示，即旋转向量 。Rodrigues公式给出了旋转矩阵的形式： 其中 是 的反对称矩阵（“帽子运算”）： 利用 的迹（trace），可以求出旋转角： 几何意义上，旋转轴是旋转不变的方向，即： 说明 是 的特征值为 的特征向量。

3.2 欧拉角

欧拉角使用三个旋转角（绕固定坐标轴或本体坐标轴）描述旋转，例如：

  • Roll-Pitch-Yaw (rpy)：绕 -- 轴旋转；
  • ZYX 欧拉角：先绕 ，再绕 ，再绕 。

⚠️ 欧拉角存在奇异性（万向锁问题）：当两个旋转轴对齐时，导致自由度丢失。

详见推荐视频：万向锁解释 - B站

3.3 四元数

四元数为三维旋转提供了连续、无奇异性的参数化方式。一个单位四元数定义为： 其中 是实部， 是虚部。

  • 单位四元数：
  • 共轭：
  • 逆：

用四元数表示旋转时： 其中 是纯虚四元数 。

四元数乘法可用矩阵形式表示： 其中，

4. 四元数与旋转矩阵互相转换

4.1 四元数 → 旋转矩阵

取迹得： 推得： 旋转轴为： 完整表示为：

4.2 旋转矩阵 → 四元数

设 是已知的旋转矩阵，可以用如下公式恢复四元数： 注意数值稳定性需要特判，具体实现详见开源库（如 Sophus、Eigen）。

5. 常见变换模型分类

变换类型 维度 旋转 平移 缩放 投影
欧式变换 6 DoF ✅ ✅ ❌ ❌
相似变换 7 DoF ✅ ✅ ✅ ❌
仿射变换 12 DoF ✅ ✅ ✅ ❌
射影变换 15 DoF ✅ ✅ ✅ ✅

总结

  • 刚体运动的本质是 群上的变换；
  • 旋转可用 、旋转向量、欧拉角、四元数等多种方式表示；
  • 四元数优雅地避免了奇异性，常用于SLAM、IMU、图优化中。