机器学习01：线性回归(LinearRegression)

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本篇博客介绍了最简单的一种机器学习模型——线性回归，主要包含以下内容：

  1. 从解析和几何的角度去说明最小二乘法，
  2. 引入高斯分布的噪声先验，从概率的视角解释线性回归
  3. 承袭引入先验的思路，介绍正则化的处理方法

假设数据集为： 后面我们记： 线性回归假设：

最小二乘法

对这个问题，采用二范数定义的平方误差来定义损失函数： 展开得到： 最小化这个值的 ： 这个式子中 又被称为伪逆。对于行满秩或者列满秩的 ，可以直接求解，但是对于非满秩的样本集合，需要使用奇异值分解（SVD）的方法，对 求奇异值分解，得到 于是： 在几何上，最小二乘法相当于模型（这里就是直线）和试验值的距离的平方求和，假设我们的试验样本张成一个 维空间（满秩的情况）：，而模型可以写成 ，也就是 的某种组合，而最小二乘法就是说希望 和这个模型距离越小越好，于是它们的差应该与这个张成的空间垂直：

概率视角:噪声为高斯分布的 MLE

对于一维的情况，记 ，那么 。代入极大似然估计中： 这个表达式和最小二乘估计得到的结果一样。

权重先验也为高斯分布的 MAP

取先验分布 。于是：  这里省略了 ，和 没有关系，同时也利用了上面高斯分布的 MLE的结果。

我们将会看到，超参数 的存在和下面会介绍的 Ridge 正则项可以对应，同样的如果将先验分布取为 Laplace 分布，那么就会得到和 L1 正则类似的结果。

正则化

在实际应用时，如果样本容量不远远大于样本的特征维度，很可能造成过拟合，对这种情况，我们有下面三个解决方式：

  1. 加数据
  2. 特征选择（降低特征维度）如 PCA 算法。
  3. 正则化

正则化一般是在损失函数（如上面介绍的最小二乘损失）上加入正则化项（表示模型的复杂度对模型的惩罚），下面我们介绍一般情况下的两种正则化框架。 下面对最小二乘误差分别分析这两者的区别。

L1 Lasso

L1正则化可以引起稀疏解。

从最小化损失的角度看，由于 L1 项求导在0附近的左右导数都不是0，因此更容易取到0解。

从另一个方面看，L1 正则化相当于： 我们已经看到平方误差损失函数在 空间是一个椭球，因此上式求解就是椭球和 的切点，因此更容易相切在坐标轴上。

L2 Ridge

可以看到，这个正则化参数和前面的 MAP 结果不谋而合。利用2范数进行正则化不仅可以是模型选择 较小的参数，同时也避免 不可逆的问题。

小结

线性回归模型是最简单的模型，但是麻雀虽小，五脏俱全，在这里，我们利用最小二乘误差得到了闭式解。同时也发现，在噪声为高斯分布的时候，MLE 的解等价于最小二乘误差，而增加了正则项后，最小二乘误差加上 L2 正则项等价于高斯噪声先验下的 MAP解，加上 L1 正则项后，等价于 Laplace 噪声先验。

传统的机器学习方法或多或少都有线性回归模型的影子：

  1. 线性模型往往不能很好地拟合数据，因此有三种方案克服这一劣势：
    1. 对特征的维数进行变换，例如多项式回归模型就是在线性特征的基础上加入高次项。
    2. 在线性方程后面加入一个非线性变换，即引入一个非线性的激活函数，典型的有线性分类模型如感知机。
    3. 对于一致的线性系数，我们进行多次变换，这样同一个特征不仅仅被单个系数影响，例如多层感知机（深度前馈网络）。
  2. 线性回归在整个样本空间都是线性的，我们修改这个限制，在不同区域引入不同的线性或非线性，例如线性样条回归和决策树模型。
  3. 线性回归中使用了所有的样本，但是对数据预先进行加工学习的效果可能更好（所谓的维数灾难，高维度数据更难学习），例如 PCA 算法和流形学习。