凸优化24:对数-凹函数和对数-凸函数

介绍对数—凸/凹函数及其性质

定义

对函数，如果对所有的有，且是凹函数，则称是对数凹函数

对函数，如果对所有的有，且是凸函数，则称是对数凸函数

对数凹的性质可以不借助对数直接表达：函数的定义域是凸集，且对于任意有，函数是对数凹函数，当且仅当对于任意有：

对于对数凹函数来说，两点中点的函数值不小于两点的几何平均值

根据函数复合规则，如果是凸函数，则是凸函数，依次对数凸函数是凸函数，类似地，非负凹函数是对数凹函数。此外，由于对数函数是单调的，所以对数凸函数是拟凸函数，对数凹函数是拟凹函数

性质

二次可微的对数凹/凸函数

设函数二次可微，其中是凸集，则

当且仅当对任意，下式成立：，函数是对数凸函数

当且仅当对任意，下式成立：，函数是对数凹函数

乘积、和、积分

对数凹/凸函数对乘积以及正的伸缩运算是封闭的。例如，函数是对数凹函数，则逐点乘积也是对数凹函数，因为

对数凹函数的和一般不是对数凹函数，对数凸函数的和仍然是对数凸函数。设是对数凸函数，即是凸函数，根据复合规则有：，上述函数是凸函数

更加一般，如果对于任意是的对数凸函数，则函数是对数凸函数

对数凹函数的积分

在一些特殊的情况下，对数凹的性质在积分后会保留。如果函数是对数凹函数，则在山是对数凹函数