凸优化23：拟凸函数2

在拟凸函数的基础上介绍保持函数拟凸性质的函数

保拟凸运算

非负加权最大

拟凸函数的非负加权最大定义为：. 其中，是拟凸函数。

上述性质可以扩展到一般的逐点上确界：. 其中，固定任意，关于是拟凸函数。

复合

如果函数是拟凸函数，且是非减的，则复合函数是拟凸函数。

拟凸函数和一个仿射函数或者线性分式函数复合可以得到拟凸函数，若是拟凸函数，则是拟凸函数，且函数在集合上拟凸

最小化

如果是的联合拟凸函数，且是凸集，则函数是拟凸函数

通过一族凸函数进行表示

可以将拟凸函数的下水平集（凸集）表示为凸函数的不等式。

选择一族凸函数表示凸函数的编号，这些函数满足，即拟凸函数的下水平集是凸函数的下水平集。

则对于，函数必须满足：时，。则要求对于任意，是的非增函数，即时，

可以选取

即示性函数。

显然这些函数不是唯一的，如果的下水平集时闭集，我们还可以选取