凸优化22：拟凸函数1

在凸性质的基础上介绍一个较弱的条件——拟凸

定义

如果函数的定义域即其所有下水平集都为凸集，则称为拟凸函数。

如果其定义域以及所有上水平集都是凸集，那么这个函数为拟凹函数。

如果函数既是拟凸函数，又是拟凹函数，那么这个函数是拟线性函数。函数是拟线性函数，那么函数的定义域和所有的水平集都是凸集

凸函数是拟凸函数，但拟凸函数不一定是凸函数。拟凸函数还有可能是凹函数，例如

基本性质

拟凸性是凸性的一个拓展。凸函数的很多性质都能在拟凸函数中找到类似的性质。

例如，Jensen不等式有类似的性质是：

再例如，拟凸性可以有函数在直线上的性质刻画：函数是拟凸的充要条件是其在和其定义域相交的任意直线上是拟凸函数。这样，我们可以把函数限制在任意直线上来考察拟凸性。

上的拟凸函数

若连续函数是拟凸的，当且仅当下面的条件至少有一个成立：

1. 函数是非减的
2. 函数是非增的
3. 存在一点，使得对于，非增；对于，非减

可微拟凸函数

一阶条件

设函数可微，则拟凸的充要条件是，是凸集，且对于任意，有.

这与凸函数的一阶条件相似，但不同的是，当的时候，不一定是的全局最小值点。

二阶条件

若函数二次可微，且拟凸，则对于任意以及任意有：.

对于定义在上的函数，上述条件可以简化为.

类似地，若对于上的函数，只要时有.

反之，如果对于任意以及任意，满足，则拟凸