凸优化19：保凸运算2：复合

讨论不同情况的函数复合对于函数凹凸性的影响

给定函数和，定义复合函数为，我们考虑当函数保凸或者保凹时，函数必须满足的条件。

标量复合

首先考虑，即和。

为了找出复合规律，不妨先考虑并且假设和都是二次可微的，且. 这种情况下，是凸的等价于.

而

从而可以得出以下结论

1. 凸且非减、是凸，则是凸函数
2. 凸且非增、是凹，则是凸函数
3. 凹且非减、是凹，则是凹函数
4. 凹且非增、是凸，则是凹函数

对于更加一般的情况，如，不再假设可微或者定义域为，相似的规则仍然成立为：

1. 凸且非减、是凸，则是凸函数
2. 凸且非增、是凹，则是凸函数
3. 凹且非减、是凹，则是凹函数
4. 凹且非增、是凸，则是凹函数

其中表示的扩展值延伸。若点不再之内，则对其赋值为或（分别对于凸函数和凹函数）。需要注意的是，对于的增减性，要求在整个上都满足非增或者非减

矢量复合

下面考虑的情况，此时更复杂一点，设其中和.

为了发现规律，先假设、二次可微，且，对二次微分得：

类似地，还可以得到很多规则：

1. 如果是凸函数且每一维分量上非减，是凸函数，则是凸函数
2. 如果是凸函数且每一维分量上非增，是凹函数，则是凸函数
3. 如果是凸函数且每一维分量上非减，是凹函数，则是凹函数

对更一般的情况来说，类似地结论依然成立，但是不仅需要满足单调性条件，其扩展值延伸同样需要满足