凸优化18：保凸运算1

接下来讨论几种保持函数凸性、凹形的运算这样可以由已知的凸函数构造出新的凸函数。

非负加权求和

显然，如果是凸函数且，则函数也为凸函数；如果函数是凸函数，那么也是凸函数。将非负伸缩以及求和运算结合起来，可以看书，凸函数的几何本身是一个凸锥：凸函数的非负加权求和仍然是凸函数：是凸函数。

类似地，凹函数、严格凸函数、严格凹函数都有如上的性质。

这个性质可以扩展值无穷级数、积分。

复合仿射映射

假设函数以及，定义为，其中.若函数是凸/凹函数，则函数为凸/凹函数。

逐点最大和逐点上确界

逐点最大

若函数均为凸函数，则两者的逐点最大函数为，定义域,仍然为凸函数。容易验证：

逐点上确界

逐点最大的性质可以扩展到无限个凸函数的逐点上确界。如果对于任意，函数关于都是凸的，则函数关于是凸的，此时的定义域为

类似，一系列凹函数的逐点下确界是凹函数。

使用上境图理解，一系列函数的逐点上确界函数对应着这些函数上境图的交集：对函数以及上面定义的，有，交集运算保持集合的凸性，容易知道是凸函数。

表示成一族放射函数的逐点上确界

一个建立函数凸性的好方法是：将其表示为一族仿射函数的逐点上确界。

反过来也是成立的：几乎所有的凸函数都可以表示为一族仿射函数的逐点上确界。

一个例子

以权为变量的最小二乘费用。令，在加圈最小二乘问题中，我们对所有的极小化目标函数。称其中为权，并允许负的.

定义（最优）加权最小二乘费用函数为,其定义域为.

因为是关于的线性函数的下确界，则其是的凹函数。