凸优化17：凸函数与不等式

Jensen不等式

基本不等式有时也称为Jensen不等式。

此不等式可以拓展到更多点的凸组合：如果函数是凸函数，，且，则下面的不等式成立：

考虑凸集的时候，这个不等式可以拓展为无穷级数、积分、期望。

例如下面由形式如下的不等式：以及

实际上Jensen不等式最初的形式是：

其他不等式

很多不等式都可以将Jensen不等式应用到合适的凸函数中得到。

例如，对凸函数使用Jensen不等式，可以得到

例如Hölder不等式：对以及有：

由的凸性可以得到更为一般的均值不等式：

其中，令

然后对求和，可以得到Hölder不等式。