凸优化16：下水平集与上境图

下水平集

函数的-下水平集定义为. 对于任意，凸函数的下水平集都是凸集。

但是反过来不一定正确：某个函数的所有下水平集都是凸集，但这个函数可能不是凸函数。例如函数在上是一个严格凹函数，但是其所有下水平集均为凸集。

如果是凹函数，则由定义的-上水平集也是凸集。

上面这两个性质可以用来判断集合的凸性，若某个集合可以被描述为一个凸函数的下水平集或者一个凹函数的上水平集，则这个集合为凸集。

上境图

函数的图像定义为，是空间的一个子集；函数的上境图定义为,其也是空间的一个子集。

直观来看，函数的上境图就是函数图像之上的部分。

凸函数于凸集的联系可以通过上境图来建立：一个函数是凸函数，当且仅当其上境图是凸集。一个函数是凹函数，当且仅当其亚图是凸集。

凸函数的很多结果都可以从几何角度利用上境图并结合凸集的一些结论来证明或者理解。