凸优化15：凸函数的一阶、二阶条件

一阶条件

假设可微，即梯度在开集内处处存在，则函数是凸函数的充要条件：是凸集且任意，下式成立：

由得出的仿射函数即为函数在点附近的近似。

这个不等式说明从一个凸函数的局部信息可以得到一些全局信息。

同理，严格凸性也可以用一节条件刻画，只需要去掉凸性的一节条件的定义式中的取等即可。对于凹函数，只需要将改为即可。

二阶条件

假设函数二阶可导，即对于开集内的任意一点，其矩阵或者二阶导数存在，则函数是凸函数的充要条件是，其Hessian矩阵是半正定的，也即对于所有的有.

在上，这个条件退化为. 此条件说明的导数是非减的。条件从几何上可以立即为函数图像在点处有向上的曲率。

类似地，函数是凹的的充要条件是。是凸集且对于任意有.

严格凸的条件可以部分由二阶条件来刻画，如果对于任意有，则函数严格凸。反过来不一定成立，例如严格凸，但是在处其二阶导数为0.

凸函数的例子

首先，前面所有提到过的线性函数、仿射函数都为凸函数（同时也是凹函数）。

上的一些例子：

指数函数，幂函数，绝对值的幂函数

负熵：函数在其定义域上是凸函数（定义域为）

上的一些例子

范数是凸函数

最大值函数：在上是凸的。

二次-线性分式函数，例如是凸的，其定义域为

指数和的对数：在。这个函数可以看成时最大值函数的近似，因为总有：

几何平均：几何平均函数在定义域上是凹函数