凸优化14：凸函数的基本定义

凸函数的定义

函数是凸的：如果是凸集，且对于任意和任意有

从几何上看，上述不等式意味着点之间的线段（即之间的弦）在图像的上方。如果定义中的不等式当以及时严格成立，那么称时严格凸的。如果函数是凸的，那么称函数是凹的。如果是严格凸的，那么称是严格凹的。

对于仿射函数，定义中的不等式始终成立。仿射函数既凸又凹；反过来说，如果一个函数既凸又凹，则称其为仿射函数。

一个函数，当且仅当其在与其定义域相交的任何直线上都是凸的，这个函数是凸函数。换言之，当且仅当对于任意和任意向量，函数，函数是凸的。

扩展值延伸

通常定义凸函数在定义域外的值为，从而将这个凸函数延伸到。如果是凸函数，我们定义其扩展值延伸：如下：

可以从扩展值延伸之中确定原函数的定义域：

有了扩展值延伸的概念，就不需要每次都描述定义域了，以至于凸函数的定义式可以描述为：对于任意以及有：

由于定义域外的值被设定为了，则对于两个凸函数，其逐点求和函数的定义域为

类似地，对于凹函数，可以定义其定义域外部的值为.