凸优化13：对偶锥与广义不等式

对偶锥

定义

令为一个锥，则集合称为的对偶锥。顾名思义，是一个锥，且其总是凸的，即使不是凸锥。

从几何上看，当且仅当是在原点的一个支撑超平面的法线，如下图所示

上面的左图中，以为法向量的半平面包含锥，因此；右图中，以为内法向量的半空间不包含，因此

性质

可以导出对偶锥满足下面的性质

1. 是闭凸锥
2. 可以导出
3. 如果有非空内部，那么是尖的
4. 如果的闭包是尖的，那么有非空内部
5. 是的凸包的闭包。因此如果是凸的、闭的，那么

广义不等式的对偶

假设凸锥是正常锥，则可以导出一个广义不等式。其对偶锥也是正常的，所以也能导出一个广义不等式，称为广义不等式的对偶。

关于广义不等式及其对偶也有重要的性质

1. 当且仅当任意有
2. 当且仅当任意和有

对偶不等式定义的最小元和极小元

最小元的对偶

首先考虑最小元的性质，是上关于广义不等式的最小元的充要条件是对于，是在上极小化的唯一最优解。几何上看，这意味着对于任意，超平面是在处对的一个严格支撑超平面（严格支撑表示超平面与只相交于）。这里没有要求是凸集。

极小元的对偶性质

如果并且在上极小化，那么是极小的。

其逆定理在一般情况下不成立：上的极小元可以对于任何都不是上极小化的解。