SymPy基础计算

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介绍SymPy的一些基本方法

使用SymPy，需要先

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import sympy

基础常数

在SymPy中可以使用以下代码来表示

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sympy.exp(1), sympy.I, sympy.pi, sympy.oo

这样，我们可以计算欧拉公式

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sympy.exp(sympy.I*sympy.pi)+1	# 输出0

如果想查看某个常数或变量具体的值，可以使用evalf()函数。例如

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sympy.E.evalf(10)	# 2.718281828
sympy.E.evalf()		# 2.71828182845905
sympy.pi.evalf(10)	# 3.141592654
sympy.pi.evalf()	# 3.14159265358979

expr = sympy.sqrt(8)
expr				# 2*sqrt(2)
expr.evalf()		# 2.82842712474619

基础符号运算

可以使用如下代码

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var_x = sympy.symbols(‘x’)

可以创建一个值为'x'的符号变量var_x

符号之间可以创建各种运算公式：

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>>> var_x, var_y = sympy.symbols("x y")
>>> var_x + var_y
x + y
>>> var_x - var_y
x - y
>>> var_x * var_y
x*y
>>> var_x / var_y
x/y

同样的，我们可以创建复数

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>>> x1, y1, x2, y2 = sympy.symbols("x1 y1 x2 y2")
>>> z1 = x1 + y1*sympy.I
>>> z2 = x2 + y2*sympy.I
>>> z1, z2
(x1 + I*y1, x2 + I*y2)
>>> z1+z2
x1 + x2 + I*y1 + I*y2
>>> z1-z2
x1 - x2 + I*y1 - I*y2
>>> z1*z2
(x1 + I*y1)*(x2 + I*y2)
>>> z1/z2
(x1 + I*y1)/(x2 + I*y2)

多项式计算

SymPy中还可以计算多项式，可以进行展开、因式分解或者化简：

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>>> x = sympy.symbols('x')
>>> sympy.expand((x+1)**2)	# sympy.expand()进行展开
x**2 + 2*x + 1
>>> sympy.expand((x+2)**4)
x**4 + 8*x**3 + 24*x**2 + 32*x + 16
>>> sympy.factor(x**3+1)	# sympy.factor()因式分解
(x + 1)*(x**2 - x + 1)
>>> sympy.simplify(x**2+x+1-x)	# sympy.simplify()进行化简
x**2 + 1
>>> sympy.simplify(sympy.sin(x)**2+sympy.cos(x)**2)
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上面是单变量的式子。此外，在多变量的情况下，SymPy可以对其中的某个变量进行合并同类项或者计算某个次数的系数：

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>>> expr = x*y +x -3 +2*x**2 -x**2 +x**3 + y**2 +x**2*y**2	# 创建多项式
>>> sympy.collect(expr,x)	# sympy.collect(expr,x)对expr的x变量进行合并同类项
x**3 + x**2*(y**2 + 1) + x*(y + 1) + y**2 - 3
>>> sympy.collect(expr,y)
x**3 + x**2 + x*y + x + y**2*(x**2 + 1) - 3
>>> expr.coeff(x,2)		# 计算expr中x的二次项的系数
y**2 + 1
>>> expr.coeff(y,1)		# 计算expr中y的一次项的系数
x

对于形如都是多项式的有理函数。SymPy也可以进行有关的化简、合并、分解：

在需要合并的情况下，如果想把有理函数处理成的标准形式并且去除公因式，可以使用cancel()函数，与之类似的是together()函数，不同的是together()函数不会约去公因式；

例如对于函数：

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>>> expr = (x**2+3*x+2)/(x**2+x)
>>> sympy.cancel(expr)
(x + 2)/x
>>> sympy.together(expr)
(x**2 + 3*x + 2)/(x*(x + 1))

与此同时，我们还可以对有理函数的分子分母进行因式分解，还是使用factor()

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>>> expr = (x**2+3*x+2)/(x**2+x)
>>> sympy.factor(expr)
(x + 2)/x
>>> expr = (x**3+ 3*x**2 +2*x)/(x**5+x)
>>> sympy.factor(expr)
(x + 1)*(x + 2)/(x**4 + 1)
>>> expr = x**2 + (2*x+1)/(x**3+1)
>>> sympy.factor(expr)
(x**5 + x**2 + 2*x + 1)/((x + 1)*(x**2 - x + 1))

合并的反面是部分分式展开，也就是常用的分离常数法，这里需要使用apart()

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>>> expr = (x**4+3*x**2+2*x)/(x**2+x)
>>> sympy.apart(expr)
x**2 - x + 4 - 2/(x + 1)
>>> expr = (x**5+1)/(x**3+1)
>>> sympy.apart(expr)
x**2 - (x - 1)/(x**2 - x + 1)

初等函数计算

SymPy支持三角函数的计算trigsimp()、展开expand_trig()

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>>> expr = sympy.sin(x)**2 + sympy.cos(x)**2
>>> sympy.trigsimp(expr)
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>>> sympy.expand_trig(sympy.sin(x+y))
sin(x)*cos(y) + sin(y)*cos(x)
>>> sympy.expand_trig(sympy.cos(x+y))
-sin(x)*sin(y) + cos(x)*cos(y)
>>> sympy.trigsimp(sympy.sin(x)*sympy.cos(y)+sympy.cos(x)*sympy.sin(y))
sin(x + y)

对幂的函数，可以化简powsimp()（与simplify()类似）、根据底数进行合并，可以使用expand_power_exp()和expand_power_base()：

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>>> z = sympy.symbols('z')
>>> sympy.powsimp(x**z * y**z * x**z)
x**(2*z)*y**z
>>> sympy.simplify(x**z * y**z * x**z)
x**(2*z)*y**z
>>> sympy.expand_power_exp(x**(y+z))
x**(y + z)
>>> sympy.expand_power_base(x**(y+z))
x**(y + z)

SymPy中可以计算对数函数，使用expand_log()和logcombine()可以进行以下的操作：