凸优化11：最小与极小元

广义不等式使用符号，似乎意味着这与上的有相似的性质。但是一个很明显区别在于，上的是一个线性序，即任意两点都是可比的（对于至少有一个成立）。但是这个性质对于其他广义不等式并不一定成立，这导致最小、最大这些概念在广义不等式的研究中变得更加复杂。

如果，那么称是关于广义不等式的最小元，以同样的方式也可以定义最大元。如果一个集合有最小（或最大）元，那么它们是唯一的。

与之相对的是极小元。如果可以推得，那么称是上关于广义不等式得极小元。以同样的方式可以定义极大元。

用集合符号可以描述最小元和极小元。元素是中的一个最小元，当且仅当. 这里就表示了与相比大于或等于的所有元素（）。

元素是中的一个极小元，当且仅当. 这里表示与相比小于或者等于的所有元素（），其与的唯一共同点是

当，导出的偏序关系就是上一般的序，此时，极小和最小的概念是一致的。

例：考虑锥，其导出的是关于上的不等式。可以给出关于极小元、最小元的集合描述。此时广义不等式的含义是在的右方、上方。是集合的极小元，表示中其他所有点都在其右方、上方。为集合的极小元，说明中没有任何一个点在的左方、下方。可以参考下图，和分别是其所在多边形的最小元、极小元