凸优化10：正常锥与广义不等式

正常锥（Proper cones）

我们称一个锥是正常锥如果其满足以下四个条件：

1. 是凸的
2. 是闭的
3. 是实的，即包含非空的内部
4. 是尖(pointed)的，即不包含直线，或者等价的说：

广义不等式（Generalized inequality）

补充：偏序关系，，如果关系是自反、反对称、传递的，那么是上的偏序关系，可以用表示。例如小于等于关系就是上的偏序关系

正常锥可以用来定义广义不等式，即上的偏序关系。正常锥可以定义上的偏序关系：

也可以记作。类似地，可以定义严格偏序关系：.

当时，偏序关系就是通常意义上的，相应的，严格偏序关系与上的对应。因此，广义不等式包含了上的不等式，这是广义不等式的一种特殊情况

广义不等式的性质

1. 对加法保序：如果并且，那么
2. 具有传递性
3. 对非负数乘是保序的：如果，那么
4. 是自反的
5. 是反对称的
6. 对极限运算是保序的：如果对于，均有，那么有

相应的严格广义不等式也有一些性质

2. 对加法保序
3. 对非负数乘保序
4. 反自反：
5. ，则存在足够小的使得

以上这些性质从定义和正常锥、凸锥的知识很容易推出