凸优化9：保凸运算2：线性分式及透视函数

本次我们来讨论一类叫线性分式的函数，其比仿射函数更加普遍，而且也是保凸的。

透视函数(The perspective function)

我们定义为透视函数，其定义域为。此处表示正实数集合。

透视函数可以理解为，对一个维的向量，用最后一维除前维，并且将最后一维舍去。也即对最后一维进行了规范化。

可以用小孔成像来理解透视函数，如下图的小孔成像，上方的一系列点透过小孔映射到了上。原来的点何其对应的像的映射就对应了透视函数。

透视函数的保凸性

通过小孔成像的例子，我们可以很直观地理解透视函数的一系列性质。

如果是凸集，那么它的像也是凸集。这个结论很直观：通过小孔观察凸的物体还是凸的。

更加严谨地，我们可以证明线段在透视函数地作用下会被映射为线段。假设，并且，那么对于，就有：

，其中

容易知道其中的关系是单调的：当在0，1之间变化形成线段时，也在0，1之间形成线段，这说明。

接着，假设是凸的，并且。为了显示的凸性，我们需要说明在中。而这是显然的，这条线段就是在的像，因为属于。

透视函数的反函数的保凸性

一个凸集在透视函数下面的原像也是凸的：如果是凸集，那么也是凸的。证明如下，

假设。需要说明，也即。

显然，。可以从下式看出：

，其中

从而知道上面需要说明的结论是显然的。

线性分式函数(Linear-fractional functions)

线性分式函数是由透视函数和仿射函数复合而成的。设是仿射的，即，其中,,,.

则由给出的函数 称为线性分式（或投射）函数。如果则的定义域为，并且是仿射函数。因此我们知道仿射函数和线性函数都是特殊的线性分式函数。

线性分式函数的投射解释

可以将线性分式函数表示为：将矩阵作用于（左乘）点，得到；然后将所得的结果进行归一化（伸缩变换）看，使得最后一个分量为1，得到.

线性分式函数的保凸性

线性分式函数是保凸的。如果是凸集并且在的定义域中（即任意满足），那么的像也是凸集。

根据前面的结果可以知道线性分式函数的逆映射也是保凸的