凸优化2：凸集

Posted on 2023-12-09 Edited on 2023-12-10 In 凸优化 , 凸集 Views:

凸集

如果集合中任意两点间的线段仍然在中，即对于任意和满足的都有，那么集合被称为是凸集。容易知道，仿射集合是凸集。

称点为点的一个凸组合，其中并且。与仿射集合类似，一个集合是凸集等价于集合包含其中所有点的凸组合。点的凸组合可以看成是它们的加权平均。

称集合中所有点的凸组合的集合为其凸包，记为：

凸包总是凸的，其是包含的最小的凸集。

这里“最小的凸集”和上一节“最小的仿射集合”可以类比离散数学中的关系闭包。

在上面的概念中，凸组合的定义可以从可数的组合拓展到无穷级数、积分等，假设有，并且，其中为凸集。如果接下来的级数收敛，那么我们就有

更加一般地说，假设函数，对所有有且，其中为凸集。如果接下来地积分存在，那么有

最一般地情况下，是凸集，是随机变量，且，那么.

这一形式包含了前述地情况。如果随机变量是两点分布，情况就退化到了两个点地简单凸组合

如果对于和有，我们称集合是锥(cone)或非负齐次。如果集合是锥并且是凸集，则称为凸锥(convex cone)，即对于任意和，都有.

如图，几何上来看，组成了一个二维的扇形，扇形的顶点代表

具有形式的点称为的锥组合(conic combination)或非负线性组合。如果属于凸锥，那么的每一个锥组合也在中。换句话说，集合是凸锥包含其元素的所有锥组合。

与凸组合、仿射组合类似，锥组合的概念可以拓展到无穷级数和积分之中。

集合的锥包是中元素的所有锥组合的集合，即

其是包含集合的最小的凸锥。

下面不加证明的给出一些例子，方便理解。